Distância entre dois pontos

 

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.
Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

Plano Cartesiano

O Plano Cartesiano foi criado pelo matemático René Descartes. Como ele associava a geometria à álgebra, esta foi a forma que ele criou para representar graficamente expressões algébricas.

A sua utilização mais simples é a de representarmos graficamente a localização de pontos em um determinado plano. Através dele também podemos representar um segmento de reta ou um triângulo, por exemplo.

O plano cartesiano é composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizontal e outra vertical.

Damos no nome de eixo x ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical denominamos de eixo y ou eixo das ordenadas.

A orientação positiva das retas é representa por uma seta como podemos ver na figura mais abaixo.

Representação de Pontos no Plano Cartesiano

A representação de pontos neste plano é feita através de pares ordenados, onde o primeiro número se refere àabscissa e o segundo a ordenada.

O ponto P₁(3, 2) tem abscissa 3 e ordenada 2, no qual o símbolo (3, 2) representa um par ordenado. O pontoP₂(2, 3) tem abscissa 2 e ordenada 3. É importante frisarmos que os pontos P₁ e P₂ são pontos distintos, poisem um par ordenado a ordem dos números é relevante.

Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente sea = c e b = d.

Na figura ao lado vemos a representação do ponto P(-6, 5).

Ao ponto localizado no cruzamento de ambos os eixos damos o nome de origem do sistema de coordenadas cartesianas, representado por O(0, 0).

Quadrantes do Plano Cartesiano

Vemos nesta figura que o eixo x e o eixo y dividem o plano em quatro regiões. A região do canto superior direito é o primeiro quadrante, a região à sua esquerda, do outro lado do eixo y é osegundo quadrante. Abaixo deste temos o terceiro quadrante e à sua direita, ou seja, abaixo do primeiro temos o quarto quadrante.

Os quadrantes são dispostos em sentido anti-horário.

Sinal da Abscissa e da Ordenada de um Ponto

Todos os pontos no primeiro quadrante possuem abscissa e ordenada positivas. Exemplo: P₁(3, 5).

No segundo quadrantes todos os pontos possuem abscissa negativa e ordenada positiva. Exemplo: P₂(-4, 2).

Todos os pontos no terceiro quadrante possuem abscissa e ordenada negativas. Exemplo: P₃(-7, -1).

No quarto quadrante todos os pontos possuem abscissa positiva e ordenada negativa. Exemplo: P₂(8, -3).

Exercício sobre operação com conjuntos.

01. (PUC-MG) Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, assinale a alternativa correta.
a) (A − B) Ì B
b) A È B = B Þ A = Æ
c) A Ç B = Æ Þ A È B = Æ
d) A ¹ B Þ A Ë B
e) (A − B) Ì A È B
 

---

02. (Vunesp-SP) Suponhamos que:
A È B = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
A Ç B = {d, e}.
A − B = {a, b, c}.
Então:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {a, b, c, d, e}
d) B = {d, e}
e) B = Æ
 

---

03. (Cesgranrio-RJ) Sejam os conjuntos U = {1, 2, 3, 4} e A = {1, 2}. O conjunto B tal que B Ç A = {1} e B È A = U é:
a) Æ
b) {1}
c) {1, 2}
d) {1, 2, 3}
e) U

---

04. (UFSE) Se A e B são dois conjuntos não vazios e Æ é o conjunto vazio, é verdade que, das afirmações
I) A Ç Æ = {Æ}
II) (A − B) È (B − A) = (A È B) − (A Ç B)
III) (A È B) = {A} È {B}
IV) Æ Î {Æ, A, B}
São verdadeiras somente:
a) I e II
b) II e III
c) II e IV
d) III e IV
e) I, III e IV

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05. (Mackenzie-SP) Dados os conjuntos A, B e C, não vazios, sabe-se que A Ì B. Então tem-se sempre:
a) A Ç C = Æ
b) A Ç B = Æ
c) B Ç C = Æ
d) A Ç B Ì C
e) A Ç C Ì B
 

---

06. (UFMG) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A Ì B e C Ì A, então sempre é verdadeiro que:
a) B = C
b) B É C
c) B Ì C
d) A É (B È C)
e) A Ì (B Ç C)
 

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07. (ESPM-SP) Dados os conjuntos: A ={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {3, 4, 5, 6, 8, 9} e C = {4, 6, 8}, determinar o complementar de C em relação à intersecção dos conjuntos A e B.

---

08. (Esam-PI) Sejam os conjuntos A, B e C tais que A Ç B = A e A Ç C = C. Nestas condições, é verdade que:
a) A = B
b) A ¹ C
c) B ¹ C
d) B Ç C = Æ
e) C Ì A Ì B
 

---

09. (Cesgranrio-RJ) Se X e Y são conjuntos e X È Y = Y, pode-se sempre concluir que:
a) X Ì Y
b) X = Y
c) X Ç Y = Y
d) X = Æ
e) Y Ì X

---

10. (FCMSC-SP) Se A, B e C são conjuntos tais que A Ç C = C e C Ç B ¹ Æ, então
a) B É A
b) A È B = C
c) A È B = B
d) C Ç B Ì A
e) B − C Ì A

Respostas :

01-e

02-b

03-d

04-c

05-e

06-b

07- (3,5)

08-c

09-a

10-d

Exercício sobre conjuntos.

Questões:

01. Assinale a FALSA:

a) Ø Ì{3}
b) {3}Ì{3}
c) Ø Ï{3}
d) 3 Î{3}
e) 3 = {3}


02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar:

a) B Ì A
b) A = B
c) A ÎB
d) a = A
e) {A}ÎB


03. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a ÎA, b ÎA e a ¹ b}, o número de elementos de B que são números pares é:

a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13


04. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:

a) 21
b) 128
c) 64
d) 32
e) 256

    
05. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:

a) 127
b) 125
c) 124
d) 120
e) 110


06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se  que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?


07. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:

a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600


08. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é:

a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%


09. (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:

Marcas	A	B	C	A e B	A e C	B e C	A, B e C	Nenhuma delas
Número de Consumidores	109	203	162	25	28	41	5	115

Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é:

a) 99
b) 94
c) 90
d) 84
e) 79


10. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa

tabelados abaixo:

Marcas	A	B	C	A e B	A e C	B e C	A, B e C	Nenhuma delas
Número de Consumidores	109	203	162	25	28	41	5	115

Determine:

a) O número de pessoas consultadas.
b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.
c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas.
d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C.
e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C.
Resolução:

01. E

02. E

03. C

04. B

05. A

06. a) 80.000
       b) 16.000 
       c) 85.000
       d) 15.000
       e) 80.000
       f) 5.000
       g) 20.000
       h) 89.000
       i) 96.000

07. D

08. E

09. D

10. a) 500
       b) 257
       c) 84
       d) 4%
       e) 19,6%

Intervalos Reais

QUESTÃO:
Sejam os intervalos A = (-∞, 1], B = (0, 2] e C = [-1, 1]. O intervalo de C U ( A ∩ B ) é:
a) (-1, 1]
b) [-1, 1]
c) [0, 1]
d) (0, 1]
e) (-∞, -1]    
Resposta:
Intervalo de A:
.................1
*************☻------------

Intervalo de B :
......0....................2
------0***************☻------

Intervalo de C :
.- 1.................1
---☻***********☻----------



Resolvendo o que está dentro do parêntese, temos:


..................1
*************☻------------- A

-----0**************☻------ B
.... 0 ..................2

----0*********☻------------ A interseção B
...0.............1



Por fim, devemos fazer C U ( A inters. B ),temos;

.. - 1 .................1
----☻**************☻-------- C

--------------0*******☻-------- A INT. B
..............0.........1

----☻**************☻------- C U ( A INT. B )
...- 1...................1


R ===> [ - 1 , 1 ] ALTERNATIVA B)

*Clica na imagem para uma melhor visualização*

Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

• Conjunto dos números Naturais (N);
• Conjunto dos números Inteiros (z);
• Conjunto dos números Racionais
• Conjunto dos números Irracionais (I);
• Conjunto dos números Reais (R);
• Conjunto dos números Complexos (C);

Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números Complexos).

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Conjunto dos Números Naturais (IN)

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais.

Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Muita gente acharia a Matemática bem menos complicada se existissem só esses números .

Porém, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem alguns problemas que ele não "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 - 4.

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O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0}

Z₊ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z₊ = IN.

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Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto que soluciona esses problemas é o dos números inteiros. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero. Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus componentes têm sucessor e antecessor, e é possível fazer qualquer subtração entre eles, pois o resultado será sempre inteiro.

Representação: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 

No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus "probleminhas". Não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado não será exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com números inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 não é um número inteiro.

É necessário, então, outro conjunto

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O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0}

Z₊ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z₊ = IN.

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Conjunto dos Números Racionais (Q)

Esses números são os resultados de divisões exatas e inexatas, ou seja, estão incluídos os números inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração.

Representação: = 

Exemplos de números racionais: 0; 1,23; 0, 3333...; œ; -4; 13; etc.

Conjunto dos Números Irracionais 

 Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes não-exatas, mas seu mais famoso integrante é o número , seguido do número e. 

Assim, os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, estão contidos nos racionais.

Conjunto dos Números Reais (R)

A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números reais (R) , os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo: quase todos os problemas, pois existe uma questão que ainda fica em aberto: qual o número real que, elevado ao quadrado, resulta em um número negativo?

Exemplo: qual o número que, elevado ao quadrado, resulta em -4? 

Poderíamos pensar no -2, mas (-2).(-2) = 4 e, com 2.2 acontece a mesma coisa. Logo, é preciso um novo conjunto: o dos números complexos (C) , baseados na unidade imaginária . A resposta da pergunta anterior é: o número que elevado ao quadrado resulta em -4 é 2i.

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Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}

IR₊ = conjunto dos números reais não negativo

IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

- Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ;  1,1 ;  1,2  ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

- Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ;  5,1 ;  5,2  ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

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Para você aprender mais sobre conjuntos numéricos assista o vídeo no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=iQJlSvapg-U

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EXERCÍCIOS  

Todas as respostas estarão no final !

1 º)Dado que x é um número racional e Y um número irracional ,é verdade que :

(A) x⋅Y é racional
(B) Y2 é racional
(C) x⋅Y pode ser racional
(D) x⋅Y é irracional
(E) x+Y é racional

2 º)Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =

(A) { }
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2,3}
(E) {3,4}

3 º) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:

(A)x = 0 e y = 5

(B)x+y=7 

(C)x = 0 e y = 1

(D)x + 2 y = 7

(E)x = y

4 º)Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então :

(A) o valor máximo de x/y é 20
(B) o valor mínimo de x/y é 1
(C) o valor máximo de x/y é 4
(D) o valor máximo de x/y é 4/13  
(E) o valor máximo de x/y é 5

5 º)Se x e y são números reais tais que x = (0,25)^0,25 e y=16^–0,125, é verdade que

a) x = y 
b) x > y
c) x·y = 2√2

d) x - y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.

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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Respostas abaixo↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

1 º)C

2 º)C

3 º)B

4 º)D

5 º)A

Conjuntos

Conjuntos

Definição : Conjunto é uma reunião de elementos, podemos dizer que essa definição é bem primitiva, mas a partir dessa ideia podemos relacionar outras situações. O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos. 
Vazio: não possui elementos e pode ser representado por { } ou Ø. 
Universo: possui todos os elementos de acordo com o que estamos trabalhando, pode ser representado pela letra maiúscula U. 

A representação de um conjunto depende de determinadas condições: 

Exemplos , 

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Exemplo 1 
Condição: O conjunto dos números pares maiores que zero e menores que quinze. Representação através de seus elementos. 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 

Representação pela propriedade de seus elementos. 
A = {x / x é par e 0 < x < 15}, o símbolo da barra (/) significa “tal que”. 
x tal que x é par e x maior que zero e x menor que 15.
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Exemplo 2 
Condição: O conjunto dos números Naturais ímpares menores que vinte. Elementos 
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 

Propriedade dos elementos 
A = {x Є N / x é impar e x < 20} 
x pertence aos naturais tal que x é impar menor que 20. 
Outra forma de representação de conjuntos de elementos é a utilização de diagramas. Observe os conjuntos A e B. 
A = {x / 2 < x ≤ 12} e B = {x / 4 < x < 8} 
_________________________________________________

Os conjuntos servem para representar qualquer situação envolvendo ou não elementos. Na Matemática, uma importante aplicação dos conjuntos é na representação de conjuntos numéricos.

Os estudos básicos sobre conjuntos deram origem aos estudos relacionados às Teorias dos Conjuntos, que faz uma análise sobre as suas propriedades. Esses estudos se originaram nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor. Na teoria dos conjuntos, os elementos podem ser: pessoas, números, outros conjuntos, dados estatísticos e etc. 

Representação

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

 A = {v,x,y,z}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

S={A,B,C,D}

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Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

P={6,28,496}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

N:{0,1,2,3,4,5,...}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

T={{1,6},{5,8}}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

A={x|P(x)}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

A={x e R |x² - 6x = - 8}

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, .A={2,4}

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por {},Ø , entre outros .

Subconjuntos

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

.^[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

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Para você aprender mais sobre conjuntos , assista o vídeo no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=PL_RQcUXGtU

EXERCÍCIOS  

Todas as respostas estarão no final ! 

1 º) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: 

• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 

Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos desta turma é : 

(A)49.
(B)50.
(C)47.
(D)45.
(E)46.

2 º) O complementar de A em relação a B: 

(A) {2, 5, 7, 11}
(B) {9}
(C) {0, 2, 4, 5, 7, 11}
(D) {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11}
(E) {5, 7, 11}

3 º)Se A ⊂ B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A não pode ser: 

(A) Ø
(B) {1}
(C) {10, 23, 12}
(D) {15, 10}∩{13,10}
(E) {1, 2}

4 º) Se A ⊂ B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A∪B é: 

(A) Ø
(B) {1}
(C) {10, 23, 12}
(D) {15, 10}∩{13,10}
(E) {10, 23, 12, {1,2}}

5 º) Da operação (A – B) ∪ (B – A): 

(A) {2}
(B) Ø
(C) {1, 4}
(D) {1, 4, 0}
(E) Nenhuma das anteriores

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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Respostas abaixo↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

1 º) B

2 º)E

3 º)B

4 º)E

5 º)E